4.3 Determinantes

4.3.1 Definición de un determinante.

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominadodeterminante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| = 

Determinante de orden uno

|a₁₁| = a₁₁

Ejemplo

|5| = 5

Determinante de orden dos

 = a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

Ejemplo

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (a_ij). El determinante de A se define como sigue:

 =

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a ₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ −

− a₁₃ a₂₂ a₃₁ − a₁₂ a₂₁ a ₃₃ − a₁₁ a₂₃ a_32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo 

 =

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.html

4.3.2 Expansión por cofactores.

egormaximenko. (2015). Menores y cofactores.Expansión del determinante por cofactores. noviembre 30, 2015, de google Sitio web: http://esfm.egormaximenko.com/linalg/determinant_cofactors_es.pdf

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

 1  |A^t|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

 2  |A| = 0    Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

F₃ = F₁ + F₂

 3  Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

 4  Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

 5  Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

 

 6  Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

 7  Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

 8  |A · B| =|A| · |B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

4.3.4 Regla de Cramer.

https://www.youtube.com/watch?v=lLPcHVAqY80