2.1 Antiderivada.

Hasta ahora en nuestro estudio del cálculo, nos hemos ocupado del proceso de diferenciación (esto es, el cálculo y aplicación de las derivadas de funciones). Esta parte del tema se denomina cálculo diferencial. Enseguida abordaremos el segundo campo de estudio dentro del área general del cálculo, denominado cálculo integral, en el que nos interesará el proceso opuesto a la diferenciación.
Hasta ahora hemos visto que si s(t) es la distancia recorrida en el instante t por un móvil, la velocidad instantánea es (t) s′(t), la derivada de s(t). A fin de calcular , sólo derivamos s(t). Sin embargo, puede suceder que ya conozcamos la función velocidad (t) y se requiera calcular la distancia recorrida s. En tal situación, conocemos la derivada s′(t) y buscamos la función s(t), una etapa opuesta a la diferenciación. Como otro ejemplo, podemos estar manejando un modelo de costos en que el costo marginal es una función conocida del nivel de producción y necesitamos calcular el costo total de producir x artículos. O bien, podríamos conocer la tasa de producción de un pozo de petróleo como función del tiempo y debemos calcular la producción total durante cierto periodo.
El proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración, y la función a determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada.
Con el objetivo de evaluar la antiderivada de alguna función f(x), debemos encontrar una función F(x), cuya derivada sea igual a f(x). Por ejemplo, supongamos que f(x) 3x^2. Puesto que sabemos que (d/dx)(x3) 3x^2, concluimos que podemos elegir F(x) x^3. En consecuencia, una antiderivada de 3x^3 es x^3.
Sin embargo, debe observarse que esta respuesta no es única, porque las funciones x^3 4 y x^3 2 también tienen 3x2 como derivada. De hecho, para cualquier constante C, x3 C tiene derivada 3x2; en consecuencia, x^3 C es una antiderivada de 3x^2 para cualquier C. La constante C, que puede tener un valor arbitrario, se conoce como constante de integración.
El aspecto común a todas las antiderivadas es la no unicidad: se les puede sumar cualquier constante sin destruir su propiedad de ser la antiderivada de una función dada. Sin embargo, ésta no es la única ambigüedad que existe: si F(x) es cualquier antiderivada de f(x), entonces, cualquier otra antiderivada de f(x) difiere de F(x) sólo por una constante. Por tanto, podemos decir que si F′(x) f(x), entonces, la antiderivada general de f(x) está dada por F(x) C, en donde C es cualquier constante. Ya que la constante de integración es arbitraria (es decir, puede ser cualquier número real), la integral así obtenida recibe el nombre más propio de integral indefinida. Algunas veces diversos métodos de evaluar una integral pueden dar la respuesta en diferentes formas, pero siempre se dará el caso en que las dos respuestas sólo difieren por una constante.
La expresión f(x) dx se utiliza para denotar a un miembro arbitrario del conjunto de antiderivadas de f. Ésta se lee como la integral de f(x), dx. En tal expresión, la función f(x) por integrar se denomina el integrando y el símbolo ∫ es el signo de integral.

Arya., J & Lardner., R.. (2009). MATEMÁTICAS APLICADAS a la administración y a la economía. noviembre 24, 2015, de Departament of Mathematics, Simon Fraser University Sitio web: https://attachment.fbsbx.com/file_download.php?id=423111277899367&eid=ASuO0J_sXX9RSca5tdg6MUoSTv4uZTUbe0vEuDTAWalNO_Jy6E7LQU28D9qHdQtNZrg&inline=1&ext=1448417837&hash=ASvSehGp-_lUYlvB