Resumen del Módulo IV

En esta unidad retomamos el tema de los sistemas de ecuaciones y los diferentes sistemass para resolveros, esto para poder hacer de forma más sencilla los temas que venían más adelante.
Después entramos al tema de matrices, aprendiendo que se pueden sumar, restar y multiplicar con ciertas condiciones, también podemos encontrar los valores de las variables en un sistema de ecuaciones tomando los coeficientes y los resultados en forma de matriz. A éstas también se les puede sacar inversa, pero no en todos los casos era posible. Por último teníamos la opción de poder llegar a los resultados obteniendo primero el determinante de la matriz.

4.4 Aplicaciones: Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor.

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4.3 Determinantes

4.3.1 Definición de un determinante.

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominadodeterminante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| = 

Determinante de orden uno

|a₁₁| = a₁₁

Ejemplo

|5| = 5

Determinante de orden dos

 = a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

Ejemplo

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (a_ij). El determinante de A se define como sigue:

 =

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a ₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ −

− a₁₃ a₂₂ a₃₁ − a₁₂ a₂₁ a ₃₃ − a₁₁ a₂₃ a_32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo 

 =

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.html

4.3.2 Expansión por cofactores.

egormaximenko. (2015). Menores y cofactores.Expansión del determinante por cofactores. noviembre 30, 2015, de google Sitio web: http://esfm.egormaximenko.com/linalg/determinant_cofactors_es.pdf

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

 1  |A^t|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

 2  |A| = 0    Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

F₃ = F₁ + F₂

 3  Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

 4  Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

 5  Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

 

 6  Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

 7  Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

 8  |A · B| =|A| · |B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

4.3.4 Regla de Cramer.

https://www.youtube.com/watch?v=lLPcHVAqY80

4.2 Álgebra de Matrices

El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra


4.2.1 Tipos de matrices (cuadrada, rectangular, triangular, matriz identidad, matriz transpuesta).

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A ·  B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A . A^t = I

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html

4.2.2 Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación por escalar y producto de matrices).

math2me. (2014). Suma y resta de matrices. noviembre 30. 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/DgQuy_wbVZE

https://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us

4.2.3 Propiedades de las operaciones con matrices.

Jarne. G, Minguillón. E & Zobal T.. (2015). OPERACIONES CON MATRICES. OROPIEDADES. noviembre 30, 2015, de google Sitio web: http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u6matte30.pdf

4.2.4 Matriz inversa.

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

A · A⁻¹  = A⁻¹ · A = I

Propiedades

 1  (A · B)⁻¹  = B⁻¹ · A⁻¹

 2  (A⁻¹)⁻¹  = A

 3  (k · A)⁻¹  = k⁻¹ · A⁻¹

 4  (A^t)⁻¹  = (A⁻¹)^t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A⁻¹, seguiremos los siguientes pasos:

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

 2  Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.

F₂ = F₂ − F₁

F₃ = F₃ + F₂

F₂ = F₂ − F₃

F₁ = F₁ + F₂

F₂ = (−1) F₂

La matriz inversa es:

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/inversa.html

4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.

Una gran cantidad de problemas en negocios y economía desembocan en los denominados sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, consideremos la siguiente situación.
El propietario de una tienda de televisores desea expandir su negocio comprando y poniendo a la venta dos nuevos modelos de televisores que acaban de salir al mercado. Cada televisor del primer tipo cuesta $300 y cada televisor del segundo tipo $400. Cada televisor del primer tipo ocupa un espacio de 4 pies cuadrados, mientras que cada uno del segundo tipo ocupa 5 pies cuadrados. Si el propietario sólo tiene disponibles $2000 para su expansión y 26 pies cuadrados de espacio, ¿cuántos modelos de cada tipo deberá comprar y poner a la venta haciendo uso completo del capital disponible y del espacio?
Supóngase que el propietario compra x televisores del primer modelo y y del segundo. Entonces, le cuesta $300x comprar el primer modelo y $400y comprar el segundo tipo de televisores. Dado que la cantidad total que ha de gastar es de $2000, es necesario que

 300x + 400y = 2000

Asimismo, la cantidad de espacio ocupada por los dos tipos de televisores es de 4x pies cuadrados y 5y pies cuadrados, respectivamente. El espacio total disponible para los dos modelos es de 26 pies cuadrados. Por tanto

4x + 5y = 26

Para encontrar el número de televisores de cada modelo que deberá comprar y poner a la venta, debemos resolver las ecuaciones para x y y. Es decir, debemos encontrar los valores de x y y que satisfagan a la vez ambas ecuaciones. Obsérvese que cada una de ellas es una ecuación lineal en x y y.

Arya., J & Lardner., R.. (2009). MATEMÁTICAS APLICADAS a la administración y a la economía. noviembre 24, 2015, de Departament of Mathematics, Simon Fraser University Sitio

web: https://attachment.fbsbx.com/file_download.php?id=423111277899367&eid=ASuO0J_sXX9RSca5tdg6MUoSTv4uZTUbe0vEuDTAWalNO_Jy6E7LQU28D9qHdQtNZrg&inline=1&ext=1448417837&hash=ASvSehGp-_lUYlvB

4.1.1 Definición

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4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes, y su representación paramétrica del conjunto solución.

matemprepa. (2014). Álgebra Intermedia - Lección 61 - B (sistemas consistentes, inconsistentes y dependientes). noviembre 30, de youtube Sitio web: https://youtu.be/k4JQQJdmmoA



4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método gráfico, igualación, sustitución, eliminación (sumas y restas).

Método de eliminación, de sustitución e igualación.

Método gráfico

TheNewNewton. (2012). Matemáticas E.S.O. | Sistemas de Ecuaciones: Los Tres Métodos. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/UyV5EA3Pu5Q


julioprofe. (2012). Sistema de Ecuaciones Lineales 2x2 por Método Gráfico. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/ieiRIATCOUI


4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos ecuaciones son iguales.

Una ecuación es proporcional a otra.

Una ecuación es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

 1  Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

 2  Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

 3  Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

 4  Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

 5  Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

vitutor. (2014). Sistemas de ecuaciones equivalentes. noviembre 3, 2015, de google Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/equi.html

4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan.

MATEMATICAS EJERCICIOS RESUELTOS. (2013). SISTEMA DE ECUACIONES DE 3×3 METODO DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PROBLEMA RESUELTO. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/H7r9xAxbvg4

4.1.5.1 Definición de matriz.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es deorden: 2, 3, 4, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij).

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por a_ij.

Matrices iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html

4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

estudiia. (2013). Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/Xn6TVlj2ilE

4.1.5.3 Operaciones elementales sobre renglones.

UTVPAV. (2014). Operaciones elementales de renglón. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/y3F1B4-sVko

4.1.5.4 Reducción de Gauss y Gauss-Jordan.

Método de reducción de Gauss      

Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales por filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.

Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas, obtenemos

que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener     :

En la primera y segunda ecuación, sustituimos      por la solucion de la tercera ecuación   (      ), para obtener:

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita,    , que resolvemos para obtener    .   Sustituimos, en la primera ecuación,      por 1   (      ). Esto nos da una ecuación en     :

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

wikillerato. (2013). Método de reducción de Gauss. noviembre 30, 2015, de google Sitio web: http://www.wikillerato.org/M%C3%A9todo_de_reducci%C3%B3n_de_Gauss.html

Reducción de Gauss-Jordan

unicoos. (2011). Discutir un sistema 03 BACHILLERATO Reduccion Gauss Jordan. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/klWAnkzOIbo

4.1.5.5 Sistemas homogéneos.

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x₁ = x₂ =... = x_n = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observemos que esto se debe a que:

De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el sistema compatible indeterminado.

Ejemplos

r = 3 n = 3

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html