4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.

Una gran cantidad de problemas en negocios y economía desembocan en los denominados sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, consideremos la siguiente situación.
El propietario de una tienda de televisores desea expandir su negocio comprando y poniendo a la venta dos nuevos modelos de televisores que acaban de salir al mercado. Cada televisor del primer tipo cuesta $300 y cada televisor del segundo tipo $400. Cada televisor del primer tipo ocupa un espacio de 4 pies cuadrados, mientras que cada uno del segundo tipo ocupa 5 pies cuadrados. Si el propietario sólo tiene disponibles $2000 para su expansión y 26 pies cuadrados de espacio, ¿cuántos modelos de cada tipo deberá comprar y poner a la venta haciendo uso completo del capital disponible y del espacio?
Supóngase que el propietario compra x televisores del primer modelo y y del segundo. Entonces, le cuesta $300x comprar el primer modelo y $400y comprar el segundo tipo de televisores. Dado que la cantidad total que ha de gastar es de $2000, es necesario que

 300x + 400y = 2000

Asimismo, la cantidad de espacio ocupada por los dos tipos de televisores es de 4x pies cuadrados y 5y pies cuadrados, respectivamente. El espacio total disponible para los dos modelos es de 26 pies cuadrados. Por tanto

4x + 5y = 26

Para encontrar el número de televisores de cada modelo que deberá comprar y poner a la venta, debemos resolver las ecuaciones para x y y. Es decir, debemos encontrar los valores de x y y que satisfagan a la vez ambas ecuaciones. Obsérvese que cada una de ellas es una ecuación lineal en x y y.

Arya., J & Lardner., R.. (2009). MATEMÁTICAS APLICADAS a la administración y a la economía. noviembre 24, 2015, de Departament of Mathematics, Simon Fraser University Sitio

web: https://attachment.fbsbx.com/file_download.php?id=423111277899367&eid=ASuO0J_sXX9RSca5tdg6MUoSTv4uZTUbe0vEuDTAWalNO_Jy6E7LQU28D9qHdQtNZrg&inline=1&ext=1448417837&hash=ASvSehGp-_lUYlvB

4.1.1 Definición

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4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes, y su representación paramétrica del conjunto solución.

matemprepa. (2014). Álgebra Intermedia - Lección 61 - B (sistemas consistentes, inconsistentes y dependientes). noviembre 30, de youtube Sitio web: https://youtu.be/k4JQQJdmmoA



4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método gráfico, igualación, sustitución, eliminación (sumas y restas).

Método de eliminación, de sustitución e igualación.

Método gráfico

TheNewNewton. (2012). Matemáticas E.S.O. | Sistemas de Ecuaciones: Los Tres Métodos. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/UyV5EA3Pu5Q


julioprofe. (2012). Sistema de Ecuaciones Lineales 2x2 por Método Gráfico. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/ieiRIATCOUI


4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos ecuaciones son iguales.

Una ecuación es proporcional a otra.

Una ecuación es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

 1  Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

 2  Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

 3  Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

 4  Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

 5  Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

vitutor. (2014). Sistemas de ecuaciones equivalentes. noviembre 3, 2015, de google Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/equi.html

4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan.

MATEMATICAS EJERCICIOS RESUELTOS. (2013). SISTEMA DE ECUACIONES DE 3×3 METODO DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PROBLEMA RESUELTO. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/H7r9xAxbvg4

4.1.5.1 Definición de matriz.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es deorden: 2, 3, 4, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij).

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por a_ij.

Matrices iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html

4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

estudiia. (2013). Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/Xn6TVlj2ilE

4.1.5.3 Operaciones elementales sobre renglones.

UTVPAV. (2014). Operaciones elementales de renglón. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/y3F1B4-sVko

4.1.5.4 Reducción de Gauss y Gauss-Jordan.

Método de reducción de Gauss      

Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales por filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.

Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas, obtenemos

que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener     :

En la primera y segunda ecuación, sustituimos      por la solucion de la tercera ecuación   (      ), para obtener:

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita,    , que resolvemos para obtener    .   Sustituimos, en la primera ecuación,      por 1   (      ). Esto nos da una ecuación en     :

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

wikillerato. (2013). Método de reducción de Gauss. noviembre 30, 2015, de google Sitio web: http://www.wikillerato.org/M%C3%A9todo_de_reducci%C3%B3n_de_Gauss.html

Reducción de Gauss-Jordan

unicoos. (2011). Discutir un sistema 03 BACHILLERATO Reduccion Gauss Jordan. noviembre 30, 2015, de youtube Sitio web: https://youtu.be/klWAnkzOIbo

4.1.5.5 Sistemas homogéneos.

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x₁ = x₂ =... = x_n = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observemos que esto se debe a que:

De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el sistema compatible indeterminado.

Ejemplos

r = 3 n = 3

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html