1.1 Funciones en dos variables

INTRODUCCIÓN:

No siempre es posible expresar una magnitud como función matemática de una sola variable. Al contrario, las funciones de interés en ingeniería dependerán –en general- de un gran número de variables. Este Math-block está dedicado a extender a funciones de más de una variable los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad que ya hemos visto en una dimensión en bloques anteriores. Empezaremos proporcionando ejemplos de magnitudes que se describen mediante funciones de varias variables y representaremos en tres dimensiones las funciones de dos variables. Después introduciremos las nociones topológicas necesarias para definir el concepto de distancia, que nos permite definir bolas, entornos, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, conjuntos compactos y puntos de acumulación. Más tarde presentaremos el concepto de continuidad basándonos en la definición de límite, e ilustraremos el cálculo de límites de funciones de más de una variable.

 Definición de función de varias variables:

 Gráfica y curvas de nivel. Una función con n variables reales es una regla f que asocia a cada punto (x1, x2,.., xn) ∈ D ⊂ Rn un único número real z = f(x1, x2,.., xn). Representaremos esta función como f: D → R. D se llama dominio de definición de f . Ejemplos: Proyecto e-Math 2 Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD) Funciones de varias variables I 1.- Un sistema de fiabilidad con estructura en serie, formado por cuatro componentes(o bien en circuitos eléctricos) funciona (la corriente pasa) si los cuatro componentes lo hacen. La función de varias variables que describe el sistema sería f(x1,x2, x3, x4) = x1x2x3x4 donde el componente i funciona si xi = 1, y no lo hace si xi = 0. Luego el sistema funciona si x1 = x2 = x3 = x4 =1. 2.- Veamos el dominio de las siguientes funciones: 2 2 f (x, y) = x + y . f(x,y) está definida para cualquier par de valores reales (x,y). Por tanto, D = R2 . x y g x y − = 2 ( , ) x ≠ y . g(x,y) está definida para cualquier par de valores reales (x,y) tal que (para que no se anule el denominador). Luego el dominio es todo los puntos del xyplano excepto los que están sobre la recta y=x. 2 2 h(x, y) = 1− x − y . Como 1 . Luego el dominio es todo los puntos del xy-plano excepto los que están en el círculo de radio 1 y centro el origen de coordenadas, es decir, 0 1 2 2 2 2 − x − y ≥ ⇒ x + y ≤ (0,0) − B1 2 D = R . Donde (0,0) B1 es la bola cerrada de centro (0,0) y radio 1. i(x, y) = ln(x + y) . El dominio de la función son aquellos pares (x,y) tales que x+y>0, el logaritmo no puede tener un argumento negativo o cero. Gráficamente, el conjunto dominio está constituido por uno de los semiplanos limitados por la recta x+y = 0 (y = -x). La gráfica de una función de dos variables z = f(x,y), es la representación 3D (a partir de unos ejes cartesianos X,Y,Z) de todas las combinaciones posibles de valores (x,y,z). Es decir, para cada par de valores (x,y) encontraremos la imagen z a través de la función f . Los tres valores definen un punto en el espacio de tres dimensiones. El conjunto de todos estos puntos nos da la gráfica de la función. Dada una función f de n variables z = f(x1, x2,.., xn) y un número real cualquiera c, se define la curva de nivel de la función f asociada a un determinado valor c de z (z = c) como el conjunto de puntos x = (x1,x2,...,xn) tales que verifican la siguiente condición: f(x) = c. En particular, para una función de dos variables z = f(x,y), la curva de nivel para z = a, es el conjunto de todos los pares de valores (x,y) tales que su imagen sea a. Si denotamos esta curva de nivel como C z = a , podemos decir que: C { } x y f x y a z=a = ( , ) tal que ( , ) = Podemos representar las curvas de nivel en dos dimensiones (usando los ejes X,Y). La representación coincidirá con el perfil que resulta de seccionar horizontalmente la gráfica de la función a un nivel (o altura) de valor z = a. El conjunto de curvas de nivel se llama mapa de curvas de nivel. Ejemplo: Supongamos que tenemos un ordenador con una placa metálica de grandes dimensiones. La temperatura de la placa (lo que nos dará una idea de como tiene que ser el ventilador para que no se caliente en exceso) es función de las coordenadas de cada uno de sus puntos y viene dada por : T . Veamos la gráfica y el mapa de curvas de nivel, en [-30,30]x[-20,20]. 2 2 (x, y) = 500 − 0.6x −1.5y Proyecto e-Math 3 Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD) Funciones de varias variables I Gráfica 3D surf M

Martínez P. & Molinás P.. (2005). FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES I . noviembre 24, 2015, de Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD) Sitio web: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Funciones_Varias_Variables_I.pdf